Unit : indici di variabilità

La varianza massima
Si consideri la serie \(X : x_1, x_2, \dots , x_N\) con media \(\bar{x} \neq 0\)^a, la variabilità della serie è  massima se tutti i valori \(x_1, x_2, \dots , x_{N−1} = 0\) e \( x_N = N\bar{x}\), in altri termini tutto il carattere è posseduto da una sola unità statistica. Determiniamo, sotto queste  condizioni il valore di \(\sigma^2\):

\[ \begin{array}{lll} \sigma^2 & = & \dfrac{1}{N}\left[ (N-1)(0-\bar{x})^2 + (N\bar{x} -\bar{x})^2 \right] \\[3pt] \, & = & \dfrac{1}{N}\left[ \cancel{N\bar{x}^2} \cancel{-\bar{x}^2} + N^2 \bar{x}^2 - \cancel{2}\!N\bar{x}^2 \cancel{+\bar{x}^2} \right] \\[3pt] \, & = & \dfrac{1}{N} \left[ N\bar{x}^2 (N-1) \right] \\[3pt] \, & = & (N-1)\bar{x}^2  \end{array} \]

aSe la media è 0 vuol dire che x1 = x2 = ... = xN = 0 e quindi ovviamente
la varianza max è 0 poiché la distribuzione è degenere in 0.