Unit 2 - Verifica di ipotesi

Il ruolo della distribuzione normale
Se \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\) è possibile ricavare le distribuzioni campionarie di molte statistiche. Il nostro interesse si focalizza sulla distribuzione della v.c. \(\hat{S}^2\) varianza campionaria.

Cominciamo introducendo la v.c. \(\chi^2\) e la sua distribuzione. La distribuzione del chi-quadrato è un caso particolare della distribuzione \(\Gamma\), che noi non tratteremo. Ci limitiamo ad alcuni risultati fondamentali:

• la distribuzione del chi-quadrato \(\chi^2_n\) è definibile anche come la somma di v.c. normali standardizzate ed indipendenti
  \[ \chi^2_n = \sum_{i=1}^{n}{Z_i^2} \]
• la distribuzione del chi-quadrato è caratterizzata da un solo parametro \(n\) che prende il nome di gradi di libertà (d.f. degrees of freedom)

• se \(X \sim \chi^2_n \rightarrow \mathrm{E}[X] = n\);

• \(\mathrm{E}[(X - n)^2] = \mathrm{VAR}(X) = 2n\).