Unit 2: indici di forma

Una distribuzione di frequenza si definisce asimmetrica se è priva di un asse simmetria, un asse rispetto al quale la distribuzione si può rappresentare in due parti rispettivamente speculari.

Vari criteri e relativi indici sono utili per misurare il grado di asimmetria di una distribuzione.

Indici di tendenza centrale e misura dell’asimmetria
Gli indici di tendenza centrale Media, Mediana e Moda hanno una sensibilità via via decrescente rispetto ai valori estremi della distribuzione, per cui se la distribuzione presenta valori estremi solo da un lato gli indici di tendenza centrale ne saranno influenzati in misura differenti, pertanto è possibile definire le seguenti relazioni:

• Asimmetria positiva (o a destra) \(\Rightarrow\) Media > Mediana > Moda
• Asimmetria negativa (o a sinistra) \(\Rightarrow\) Moda > Mediana > Media

• Confrontando mediana e media si ricavano informazioni sul grado di asimmetria \(\bar{x}  − Me\). Hotelling e Solomon hanno dimostrato che \(|\bar{x} − Me| < \sigma \) e hanno proposto l’indice \(\mathcal{A}_1\) che  è definito nell’intervallo \(] − 1, 1[\):
  \[-1 \leq \mathcal{A}_1 = \dfrac{\bar{x} - Me}{\sigma} \leq 1 \]

• L’indice di asimmetria di Bowley sfrutta la relazione \(Q_3 \geq Me \geq Q_1\):
  \[ \mathcal{A}_2 = \dfrac{(Q_3 - Me) - (Me - Q_1)}{(Q_3 - Me) - (Me - Q_1)} = \dfrac{Q_1 + Q_3 - 2Me}{Q_3 - Q-1} \]

Momento terzo e indice di asimmetria di Fisher
Sia \(X\) un generico carattere quantitativo, si definisce momento di una distribuzione la quantità:

\[ m^r = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^r \]

Il momento terzo centrato permette di ricavare informazioni relative al grado di asimmetria della distribuzione:

\[ \color{brown}{m^3_{(\bar{X})} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^3} \]

Si osservi, tuttavia che la quantità \(m^3_{(\bar{X})}\) risente, oltre che del grado di asimmetria della distribuzione anche della variabilità. L’indice \(\gamma^3\)  di Fisher risolve questo problema normalizzando rispetto alla variabilità, ovvero imponendo \(\sigma^2 = 1\).

\[ \gamma^3 = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{\sigma} \right)^3 \]

Momento quarto e indice di kurtosi di Fisher.
La kurtosi (dal greco κυρτóς = gobba) definisce una misura della altezza della gobba della distribuzione e di conseguenza dello spessore delle code. Poiché l’area sottesa dalla funzione  di distribuzione è una costante, a parità di variabilità, se una distribuzione si presenta con una gobba alta avrà code basse e viceversa. Questo è un aspetto estremamente rilevante.

Il momento quarto centrato fornisce informazioni relative al grado di kurtosi della distribuzione:

\[ \color{brown}{m^4_{(\bar{X})} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^4} \]

Questo indice è influenzato anche dalla variabilità della distribuzione, oltre che dalla frequenza presente nelle code. L’indice \(\gamma^4\) di Fisher, come abbiamo già visto per l’asimmetria (con l’indice \(\gamma^3\) ), risolve questo problema normalizzando rispetto alla variabilità, ovvero imponendo \(\sigma^2 = 1\).

\[ \gamma^4 = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{\sigma} \right)^4 = \dfrac{ m^4_{ (\bar{X}) } }{ \left( m^2_{(\bar{X})} \right)^2 } .\]

\(\gamma^4 < 3 =\) leptocurtosi,   \( \gamma^4 > 3 =\) platicurtosi,   \( \gamma^4 = 3 =\) normocurtosi

Consideriamo la serie \(X : x_1, x_2, \dots , x_N\) e definiamo le seguenti trasformazioni di \(X\):

centratura: la serie \(Y = (X − \bar{x})\) si definisce serie centrata. In base alle proprietà della media aritmetica, possiamo affermare che

\[\color{brown}{\bar{y} = 0} . \]

riduzione: dividere una serie per la propria deviazione standard prende il nome di riduzione. Se alla serie centrata \(Y\) applichiamo la trasformazione di riduzione, per le proprietà della varianza, otteniamo la serie \(Z = Y /\sigma\)  che ha media \(0\) e varianza e deviazione standard pari ad \(1\).

\[ \color{brown}{\bar{z} = 0, \qquad \sigma_Z^2 = \sigma_Z = 0} \]