Unit 3: curva normale ed uso delle tavole

Gauss e Laplace, in maniera indipendente ma senza ignorare il lavoro dell’altro (e sulla base dei risultati già noti di De Moivre), erano alla ricerca di un modello matematico - di semplice manipolazione - in grado di descrivere il comportamento degli errori di misura.

La prima curva degli errori di Laplace aveva questa funzione

\[ \phi(x) = \dfrac{m}{2} e^{m|x|} \, , \]

dove \(m = 1\) è un parametro di variabilità dell’errore.

Gauss e Laplace, in maniera indipendente ma senza ignorare il lavoro dell’altro (e sulla base dei risultati già noti di De Moivre), erano alla ricerca di un modello matematico - di semplice manipolazione - in grado di descrivere il comportamento degli errori di misura.

La seconda funzione degli errori di Laplace aveva questa espressione:

\[ \phi(x) = \frac{1}{2a} \ln\left( \dfrac{a}{|x|} \right) \, , \]

dove \(a > 0\) è un parametro di variabilità dell’errore.

Laplace era giunto a questi modelli perché - e lo sappiamo dai suoi scritti - conosceva il valore di centralità della successione aritmetica \( \displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\)  per  \(n\longrightarrow \infty\):

Distribuzione delle frequenze dei punteggi medi lancio di 1 dado

Distribuzione delle frequenze dei punteggi medi lancio di 2 dadi

Distribuzione delle frequenze dei punteggi medi lancio di 3 dadi

Distribuzione delle frequenze dei punteggi medi lancio di 4 dadi

Distribuzione delle frequenze dei punteggi medi lancio di 5 dadi

• Ciò che Laplace aveva osservato studiando la distribuzione della media aritmetica dei punteggi relativi al lancio di un dado ripetuto \(n = 1, 2, \dots , \infty\) volte era la tendenza della distribuzione ad assumere una forma campanulare.

• In altre parole, considerando \(n = 2\) (due lanci), le combinazioni possibili e le relative medie sono: \((1 + 1)/2 = 1, (1 + 2)/2 = 1, 5, (1 + 3)/2 = 2, · · · , (6 + 6)/2 = 6\).
  Si osserva che, mentre le medie 1 e 6 si verificano solo con la combinazione \(\{1; 1\}\) e \(\{6; 6\}\), rispettivamente, la media \(3\), \(5\) si verifica con le sei combinazioni \(\{1; 6\}\), \(\{2; 5\}\), \(\{3; 4\}\), \(\{4; 3\}\), \(\{5; 2\}\) e \(\{6; 1\}\).

• Se \(n\) aumenta, le combinazioni che hanno come media \(1\) e \(6\) saranno sempre una per ciascun valore, mentre aumenta (in ragione esponenziale) il numero di combinazioni che producono valori intermedi. Più di tutte aumenta il numero di combinazioni che ha come media \(3\), \(5\).

• La distribuzione delle medie tende ad assumere la forma Normale.

Fu Gauss, però, a comprendere la necessità di passare a considerare gli scarti dalla media al quadrato. La denominazione di Curva Normale o distribuzione Normale la dobbiamo a K. Pearson molto tempo dopo.

La curva Normale o curva di Gauss (Normal distribution)

\[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\color{brown}{\sigma}^2}}{\sf e}^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\color{brown}{\mu}}{\color{brown}{\sigma}}\right)^2} \]

dove:

• \( \pi = 3,14159265358979\dots \)
  è un numero irrazionale (che corrisponde al rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro);

• \( {\sf e} = 2,7182818284590\dots \)
  è un numero irrazionale che corrisponde al limite per \(n \rightarrow \infty\) delle due successioni:

  \[ {\sf e} = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \]

  \[ {\sf e} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \]

• \(\color{brown}{\mu}\) e \(\color{brown}{\sigma}\) sono parametri. \(\color{brown}{\mu}\) è la media aritmetica (e coincide con mediana e moda), e \(\color{brown}{\sigma}\) è la deviazione standard (scarto quadratico medio) della distribuzione.

• Se le distribuzioni possono essere descritte attraverso i loro momenti, queste distribuzioni quali momenti hanno in comune?
            \(M^1\)   Tendenza centrale → No
            \(M^2\)   Variabilità → No

            \(M^3\)   Asimmetria → Sì
            \(M^4\)   Curtosi → Sì

1. essere definita sull’intero supporto della variabile (cioè su \(\mathbb{R}\));
2. avere un parametro per la tendenza centrale;
3. avere un parametro per la variabilità;
4. essere simmetrica;
5. avere un rapporto costante e uguale a 3 fra il momento centrato di ordine 4 e il quadrato del momento secondo centrato: \( \dfrac{m^4_{(\bar{x})}}{(\sigma^2)^2} = 3\)  (normocurtosi).

La curva Normale o curva di Gauss
Una funzione teorica non è altro che un istogramma dove l’ampiezza delle classi \(a \rightarrow 0\) per \(N \rightarrow \infty\).

• È definita su tutto l’asse \(\mathbb{R}\);
• È asintotica rispetto all’asse \(X\);
• È simmetrica;
• È normocurtica e rispetta le proporzioni, in termini area, illustrate in figura.

La Curva Normale standard
Se effettuiamo un cambiamento di variabile, da \(X\) a \(Z\), avremo:

\[ \begin{array}{l} Y = X - \bar{x} \\[3pt] Z = \dfrac{Y}{\sigma_X} \\[3pt] Z = \left( \dfrac{X-\bar{x}}{\sigma_X} \right) \longrightarrow \bar{Z} = 0 \text{  e  } \sigma_Z^2 = 1 \\[3pt] f(Z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\color{red}{1^2}}}{\sf e}^{-\frac{1}{2}\left( \frac{z-\color{red}{0}}{\color{red}{1}} \right)^2} \\[3pt] f(Z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}{\sf e}^{-\frac{1}{2} \frac{z^2}{2}}  \end{array} \]

Sia \(X\) una variabile statistica tale che \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) e assumiamo che essa rappresenti la distribuzione teorica della spesa mensile dei clienti di una compagnia elettrica, dove \(\mu = 23,5\)  e  \(\sigma^2 = 27,04 \; (\sigma = 5,2)\).

La compagnia vuole proporre uno sconto al \(10\%\) dei clienti che hanno speso di più.

Soluzione:
Utilizzando la tavola della curva normale bisogna individuare il novantesimo percentile sulla curva standardizzata: \(F(Z) = 0,9\), vediamo che \(z = 1\), \(28\). Quindi \(1,28\) è il \(90\)esimo percentile della curva che ha media \(0\) e varianza \(1\). Utilizzando la funzione inversa della standardizzazione, trasformiamo \(Z\) in \(X\).

\[ x = z ∗ \sigma + \mu = 1,28 ∗ 5,2 + 23,5 = 30,16 \]

Sia \(X\) una variabile statistica tale che \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) e assumiamo che essa rappresenti la distribuzione teorica della spesa mensile dei \(328000\) clienti di una compagnia elettrica, con \(\mu = 23,5\)  e  \(\sigma^2 = 27,04\).

La compagnia vuole sapere quanti sono i clienti che hanno speso più di \(15\) Euro e meno di \(25\) Euro (la media è compresa nell’intervallo).

Soluzione:
Osserviamo che l’intervallo comprende la media \(\mu = 23,5\), il calcolo dell’area va sviluppato in due parti: prima e dopo la media.

\[ z = (15 − 23,5)/5,2 = −1,63 , \]

\(F(−1,63) = 1 − F(1,63) \). A noi interessa la frequenza compresa fra \(0\) e \(1,63\), che corrisponde a \(0,44845\) e la frequenza compresa fra \(0\) e \(z = (25 − 23,5)/5,2 = 0, 29 \) che vale \(0,114\). La frequenza relativa è \(f = 0, 44845 + 0, 11400 = 0, 56254\). La frequenza assoluta corrispondente è \(n = 0, 56254 ∗ 328000 = 184514\).