Il fissaidee

Quinta tappa

Il termine “Fluidi” indica collettivamente i due stati di aggregazione della materia nei quali essa è in grado di scorrere, cioè - appunto - di “fluire”. Fluidi sono, quindi, i liquidi e i gas. Dal punto di vista linguistico è utile prestare attenzione al fatto che nel parlare comune, a differenza di quanto avviene col linguaggio della fisica, il termine “fluido” spesso viene inteso come sinonimo di “liquido”!

Caratteristica comune dei fluidi è la mancanza di una forma propria. Ad esempio, l’acqua contenuta in un bicchiere ha una forma approssimativamente cilindrica; se però la stessa acqua viene versata per terra, assumerà la forma di uno strato sottile. Stesso discorso per i gas: del fumo contenuto in un palloncino posto in una scatola sigillata ha una forma grosso modo sferica; se però il fumo viene lasciato uscire dal palloncino assumerà essenzialmente la forma della scatola. Cos’è dunque che differenzia i liquidi dai gas, dal momento che entrambi sono privi di forma propria? È il comportamento del loro volume. Infatti, una porzione di liquido possiede un volume fissato: ad esempio l’acqua contenuta in una bottiglia da un litro, continuerà ad avere il volume di un litro anche se la versiamo sul pavimento. Mentre una porzione di gas assume immancabilmente il volume massimo possibile, compatibilmente col contenitore nel quale è eventualmente confinata. Riprendendo l’esempio del palloncino pieno di fumo citato sopra, quando il fumo è costretto nel palloncino ha un certo volume; invece quando viene lasciato uscire da esso finirà con l’occupare l’intera scatola, assumendo quindi un volume maggiore.

La proprietà di un materiale, consistente nel mantenere invariato il volume di una fissata porzione di esso, è detta incomprimibilità. Pertanto i fluidi incomprimibili sono essenzialmente quelli che chiamiamo liquidi. Il concetto di incomprimibilità lo abbiamo sin qui descritto a parole, cioè qualitativamente. Come ben sappiamo, però, per poter fare scienza è necessario esprimere le proprietà fisiche mediante grandezze suscettibili di essere misurate. La grandezza che permette di definire in maniera quantitativa l’incomprimibilità di un materiale è la sua densità. Questa, generalmente indicata con la lettera greca \( \rho \), è definita come il rapporto tra la massa  \( M \) di una data porzione del materiale e il volume \( V \) che questa occupa:  \( ρ=M/V \). Pertanto nel S.I. la sua unità di misura è kg/m³.

Possiamo quindi dire che un fluido incomprimibile ha densità costante (a una fissata temperatura). Così, per esempio, la densità dell’acqua è circa uguale a 10³ kg/m³ (a temperatura ambiente) e non dipende dal fatto che l’acqua sia posta in un bicchiere aperto oppure la si tenga “pressata” in una siringa tappata dalla parte dell’ago. La densità dell’aria che respiriamo, a sua volta, è pari a circa 1,23 kg/m³ in condizioni standard. Tuttavia, se riempiamo d’aria una siringa tappata dal lato dell’ago e spingiamo sullo stantuffo, riusciamo ad aumentare con grande facilità la densità dell’aria in essa contenuta, come risulta evidente dal fatto che il suo volume diminuisce, mentre la massa resta costante.

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Consideriamo un recipiente cilindrico pieno d’acqua (parte sinistra della figura). Se pratichiamo dei forellini a diverse profondità sotto il pelo dell’acqua, da ciascuno di essi sprizza il liquido: si può facilmente verificare sperimentalmente (ad esempio facendo l’esperimento con una bottiglia di plastica) che la velocità con cui l’acqua sprizza è tanto maggiore quanto più in profondità è il corrispondente forellino. Ad esempio, nel caso rappresentato in figura, l’acqua sprizza da C più velocemente che da B, da cui sprizza a sua volta più velocemente che da A. Questo fatto ci suggerisce che più il forellino è in basso, maggiore è la forza che agisce dall’interno sull’acqua in prossimità del forellino, spingendola fuori. Ma di che forza si tratta? È la forza esercitata dall’acqua sovrastante il forellino a causa del suo peso (e del fatto che, a sua volta, sulla superficie libera dell’acqua nel contenitore preme l’atmosfera). Naturalmente la presenza di questa forza che preme dall’interno è indipendente dal fatto che ci sia o meno il forellino. Pertanto, considerando una superficina S della parete (parte destra della figura) possiamo concludere che su di essa agisce una forza, perpendicolare alla parete stessa; come vedremo fra poco, l’intensità di questa forza dipende dalla profondità. Ciò che è realmente importante per descrivere e spiegare il comportamento dell’acqua che sprizza, non è tanto l’intensità della forza che spinge da dentro perpendicolarmente alla superficie, quanto il rapporto tra tale intensità e l’area della superficie stessa. Questo rapporto prende il nome di pressione e di norma si indica con il simbolo P:

\( \textbf{P=F/S} \)

Da questa definizione segue che l’unità di misura della pressione (denominata Pascal, simbolo Pa) è pari al rapporto tra quella della forza (N) e quella della superficie (m²):

\( \textbf{Pa=N/m}^{2} \)

\( P=ρgh \) 

ATTENZIONE: un errore comune è di interpretare  \( h \) nella legge di Stevin come l’altezza del punto rispetto al fondo del contenitore, anziché la sua profondità rispetto alla superficie libera del liquido.

\( P=P_{atm}+ρgh \) 

\( m=Vρ=Ahρ \) 

La legge di Stevin può essere utilizzata per determinare il fattore di conversione tra l’unità di misura S.I. della pressione (il Pascal) e l’unità pratica introdotta in connessione con l’esperimento di Torricelli (il millimetro di mercurio, mmHg, o torr). A tal fine consideriamo un tubo riempito di mercurio fino a un’altezza \( h \)=76 cm come nell’esperimento (ricordiamo che il tubo in questione è chiuso in alto, e sulla superficie del mercurio non agisce la pressione atmosferica, che invece agisce dal basso impedendo al mercurio di uscire nella bacinella). Uguagliando la pressione atmosferica a quella esercitata dalla colonna di mercurio alla base (ottenuta dalla legge di Stevin) si ha: 

\( 1 atm= ρ_{Hg} gh \) 

Dove \( ρ_{Hg}=1{,}355×10^4 \, kg/m^3 \)  è la densità del mercurio. 

Sostituendo i valori numerici  \( g=9{,}81 m/s^2 \) e \( h=0{,}76 m \)  si ottiene \( 1 atm=1{,}01×10^5\,  Pa \) . 

Questa relazione indica che l’unità di misura Pascal è molto piccola rispetto ai valori con cui abbiamo a che fare nella vita quotidiana, che sono tipicamente dell’ordine dell’atmosfera.

Il galleggiamento di un corpo (o l’affondamento, più o meno rapido) è uno dei fenomeni connessi ai liquidi maggiormente noto e facilmente osservabile. Ed è altrettanto noto che la legge empirica che governa il comportamento di un corpo (galleggiamento o affondamento) è stata individuata da Archimede intorno al 3° secolo a.C. Non richiameremo qui il notissimo episodio che ha per protagonista la corona di presunto oro del tiranno di Siracusa, Gerone. Tuttavia è opportuno ricordare un aspetto di questo episodio aneddotico: Archimede ebbe l’illuminazione (Eureka!) che lo condusse a risolvere il quesito postogli da Gerone (la corona è tutta d’oro, oppure no?) allorché immergendosi nella vasca da bagno percepì di sentirsi più leggero. Poiché il suo peso non poteva essere cambiato (come dimostrato dalla constatazione che uscito dall’acqua ritornava a percepire il suo peso normale) concluse che era l’acqua a esercitare sul suo corpo un’azione (noi oggi utilizziamo il termine “forza”) che contrasta il peso, e quindi diretta verso l’alto.

Il principio formulato da Archimede, espresso in linguaggio moderno, afferma che allorché un corpo è immerso (totalmente o parzialmente) in un liquido, quest’ultimo esercita sul corpo una forza diretta verso l’alto di intensità pari al peso del liquido spostato dalla parte immersa del corpo (eventualmente tutto). È chiaro quindi che il comportamento del corpo (galleggia o affonda?) dipende dal confronto tra l’intensità della sua forza peso, \( F_p \) , e quella della forza esercitata dal liquido, \( F_A \) (che chiameremo forza di Archimede o, più propriamente, forza idrostatica). È opportuno ricordare che in relazione al principio di Archimede spesso viene utilizzato il termine “spinta” come sinonimo di forza.
Alla luce di quanto detto, il corpo sprofonda se \( F_p>F_A^{max} \)dove \( F_A^{max} \) indica il massimo valore che può assumere la forza idrostatica, corrispondente a quando il corpo è completamente immerso e quindi il volume di liquido spostato è il massimo possibile. In caso contrario il corpo galleggia, emergendo più o meno dal liquido.

La condizione di affondamento (e quindi quella, reciproca, di galleggiamento) può essere espressa in una forma immediatamente utilizzabile per prevedere il comportamento di un corpo in un determinato liquido. Vediamo come.
La forza peso agente sul corpo è \( F_p=mg=Vρ_c g, \) dove \( V \)è il volume del corpo e \( ρ_c \) la sua densità. D’altra parte, esaminando con attenzione l’enunciato del principio di Archimede possiamo esprimere la forza idrostatica come \( F_A^{max}=m_L g=V_{imm}  ρ_L g=V ρ_L g \), dove \( m_L \) indica la massa del liquido spostato dal corpo, \( V \) il volume del corpo, \( V_{imm} \) la porzione di volume che risulta immersa (la quale, nel caso considerato è uguale all’intero volume \( V \)) e \( ρ_L \) è la densità del liquido. Sostituendo le espressioni delle forze nella condizione di affondamento \( F_p>F_A^{max} \) e semplificando membro a membro \( V \) e \( g \) la condizione per l’affondamento diventa: \( ρ_c>ρ_L \). Abbiamo quindi un criterio per prevedere se un corpo posto in un liquido galleggerà (se la sua densità è inferiore a quella del liquido) oppure affonderà (nel caso contrario). Come si comporta il corpo se la sua densità è proprio uguale a quella del liquido? Si troverà in una condizione particolare, detta di galleggiabilità neutra, nella quale resterà sospeso nel liquido alla profondità alla quale viene collocato da fermo, senza andare né su né giù! Questo fenomeno è utilizzato dai pesci per restare fermi a “mezz’acqua” senza dover utilizzare le pinne per spingersi in su o in giù. I pesci, infatti, sono dotati di un sacchetto nell’addome, detto vescica natatoria, che possono gonfiare e sgonfiare per variare la densità media del loro corpo.

Per determinare la condizione di affondamento abbiamo considerato il caso in cui il corpo è totalmente immerso nel liquido e quindi \( V_{imm}=V \).  Tuttavia, nel regime di galleggiamento, cioè quando \( ρ_c<ρ_L \), il corpo è solo parzialmente immerso. In tal caso è utile chiedersi quale sia la frazione del volume del corpo che risulta immersa, cioè il valore del rapporto \( V_{imm}/V \) Possiamo determinarla considerando le grandezze illustrate nella figura.

In questo caso la condizione di equilibrio \( F_p=F_A \)si esprime come \( ρ_c g=V_{imm}  ρ_L g \)Da qui, semplificando l’accelerazione di gravità otteniamo \( V_{imm}/V=ρ_c/ρ_L \). Quindi la frazione di volume del corpo che risulta immersa è pari al rapporto tra la densità del corpo e quella del liquido. Questo fatto è particolarmente significativo nel caso in cui il corpo è costituito di ghiaccio e il liquido è l’acqua. Conosci il modo di dire “… è solo la punta dell’iceberg"? Per intendere che ciò che appare è solo una minima parte della realtà intera? Ebbene, vedremo ora l’origine fisica di questo modo di dire chiedendoci qual è la frazione del volume di un iceberg che emerge dall’acqua. La risposta la possiamo ottenere ricordando che la densità del ghiaccio è \( ρ_c=0{,}92 g/cm^3, \) mentre quella dell’acqua è \( ρ_L=1 g/cm^3 \). Sostituendo tali valori nella formula ricavata prima otteniamo\( V_{imm}/V=0{,}92 \). In termini percentuali questo significa che il 92% dell’iceberg è immerso e quindi la parte che si vede è solo l’8% circa! In realtà il conto che abbiamo fatto sottostima un po’ la percentuale emersa, in quanto non abbiamo tenuto conto che l’iceberg è fatto di acqua dolce, mentre l’acqua in cui galleggia è salata. Poiché quest’ultima ha una densità un po’ maggiore di \( 1 g/cm^3 \) (dipende dal mare considerato, ma mediamente è \( ρ_L=1{,}02 g/cm^3 \) si ottiene una percentuale emersa intorno al 10%; in ogni caso questo non inficia il modo di dire!