Spazio campionario ed eventi
Obiettivi di apprendimento
Comprendere il concetto di spazio campionario associato a un esperimento casuale.
Comprendere il concetto di evento associato a un esperimento casuale.
Comprendere le relazioni e le tipologie di eventi.
Rappresentare spazi campionari ed eventi tramite il diagramma di Venn e il diagramma ad albero.
Esperimenti, spazio campionario ed eventi
Nello studio della probabilità, un esperimento è un meccanismo che produce un risultato definito che non può essere previsto con certezza.
Uno spazio campionario associato a un esperimento casuale è l’insieme di tutti i possibili esiti. Di solito è indicato dalla lettera \(S\). Uno spazio campionario può essere definito usando la notazione, \(\{\}\).
Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario.
Esperimento 1: Lancio di una moneta
I possibili esiti sono testa (T) o croce (C).
Spazio campionario, \(S\) = {H, T}.
Esperimento 2: Lancio di un dado
I possibili esiti sono i numeri \(1, 2, 3, 4, 5\), e \(6\).
Spazio campionario, \(S\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Troviamo l’evento che corrisponde alla frase “otteniamo un numero pari”.
Gli esiti pari sono 2, 4 e 6, quindi l’evento che corrisponde alla frase è l’insieme {2, 4, 6}, che è naturale denotare con la lettera \(E\). Scriviamo \(E\) = {2, 4, 6}.
Relazioni tra gli eventi
A volte l’evento di interesse può essere costituito dalla combinazione di molti altri eventi. Siano \(A\) e \(B\) due eventi definiti nello spazio campionario \(S\). Ecco tre importanti relazioni tra gli eventi.
Definizione. L’unione degli eventi \(A\) e \(B\), indicata con \(A\cup B\), è l’evento in cui si verifica \(A\) o \(B\) o entrambi.
Definizione. L’intersezione degli eventi \(A\) e \(B\), indicata con \(A\cap B\), è l’evento in cui si verificano sia \(A\) che \(B\).
Definizione. Il complemento di un evento \(A\), indicato con \(A^C\), è l’evento in cui \(A\) non si verifica.
Tipi di eventi
Quando il verificarsi di un evento esclude la possibilità che si verifichi un altro evento, si dice che gli eventi si escludono a vicenda. In altre parole, gli eventi non possono accadere nello stesso momento. Esempi di eventi che si escludono a vicenda sono il lancio di un dado su un numero pari e su un numero dispari.
Non si escludono a vicenda sono eventi che si sovrappongono, ovvero hanno almeno un elemento in comune, ad es. tirando un 2 e un numero pari.
Quando il verificarsi di un evento non influenza il verificarsi di un altro, gli eventi sono indicati come eventi indipendenti. Esempi di eventi indipendenti sono il lancio di un dado e il lancio di una moneta.
Se il verificarsi di un evento influisce sul verificarsi di un altro, gli eventi sono noti come eventi dipendenti. Esempi di eventi dipendenti includono pescare una carta da un mazzo di carte, non sostituire la carta e pescare un’altra carta dal mazzo.
Rappresentazione degli spazi campionari - Diagrammi di Venn
Una rappresentazione grafica di uno spazio campionario e degli eventi è un diagramma di Venn. In generale, lo spazio campionario \(S\) è rappresentato da un rettangolo e gli eventi da ovali che racchiudono gli esiti che li compongono.
Esempio. Lancio di due monete non truccate. Sia \(A\) = croce sulla prima moneta. Sia \(B\) = croce sulla seconda moneta. Quindi \(A\) = {CC, CT} e \(B\) = {CC, TC}. Pertanto, \(A\cap B\) = {CC} e \(A\cupB=\) {CT, CC, TC}.
Lo spazio campionario è \(S\) = {CC, TC, CT, CC} e il diagramma di Venn corrispondente è:
Rappresentazione di spazi campionari - Diagrammi ad albero
Un diagramma ad albero è un disegno con segmenti detti “rami del diagramma” che indicano tutti i diversi “percorsi” possibili per gli esiti.
Esempio. Costruisci uno spazio campionario che descriva tutte le famiglie di tre bambini in base al sesso dei bambini rispetto all’ordine di nascita.
Ci sono due possibilità per il primo bambino, maschio o femmina, quindi tracciamo due segmenti che partono da un punto iniziale, uno che termina con \(b\) per “ragazzo” e l’altro che termina con \(g\) per “ragazza” . Per ognuna di queste due possibilità per il primo figlio ci sono due possibilità per il secondo figlio, ossia “ragazzo” o “ragazza”, quindi da ciascuno dei \(b\) e \(g\) tracciamo due segmenti, uno che termina con un \(b\) e uno con \(g\). Per ciascuno dei quattro punti finali ora nel diagramma ci sono due possibilità per il terzo figlio, quindi ripetiamo il processo ancora una volta. Il punto finale destro di ogni ramo è chiamato nodo. I nodi all’estrema destra sono i nodi finali; a ciascuno corrisponde un esito, come mostrato in figura.
