Assiomi della probabilità

Obiettivi di apprendimento

• Comprendere il concetto di probabilità

• Comprendere gli assiomi della probabilità nel contesto dei dati

• Comprendere le leggi di base della probabilità nel contesto dei dati

Cos’è la probabilità?

Definizione. La probabilità è una funzione definita nell’insieme dei numeri reali \(P\) che associa a ciascun evento \(A\) nello spazio campionario \(S\) un numero \(P(A)\), chiamato probabilità del evento \(A\), in modo tale che valga quanto segue:

1. La probabilità di qualsiasi evento \(A\) non deve essere negativa, ovvero \(P(A) \geq 0\).

2. La probabilità dello spazio campionario è \(1\), ovvero \(P(S) = 1\).

3. Dati eventi che si escludono a vicenda, \(A_1, A_2, A_3, \ldots\) ovvero dove \(A_i \cap A_j = \emptyset\), per \(i \neq j\), si può ottenere la probabilità dell’unione degli eventi sommando le probabilità dei singoli eventi, cioè \(P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_k)\).

La misura della probabilità è data da \[\frac{\texttt{numero di esiti favorevoli}}{\texttt{numero totale di esiti possibili}}\] Per esempio, se un dado bilanciato a sei facce viene lanciato un numero infinito di volte, ci aspetteremmo che la probabilità per uno qualsiasi dei sei risultati, \(x = 1\) a \(6\), sia \(1/6\).

Leggi fondamentali della probabilità

• Proprietà additiva. Se \(A\) e \(B\) sono eventi che si escludono a vicenda, \(P(A \cap B) = 0\), e \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). In altre parole, la probabilità del verificarsi di un evento o di un altro è uguale alla somma delle loro probabilità separate. Se \(A\) e \(B\) non si escludono a vicenda, allora \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).}

• Regola del complemento. Se \(A\) è un evento, l’insieme di tutti i risultati che non sono in A è chiamato il complemento dell’evento \(A\), indicato con \(A^c\). \(P(A^c) = 1 - P(A)\).}

• Proprietà moltiplicativa. La probabilità del verificarsi congiunto di due o più eventi indipendenti è il prodotto delle loro probabilità individuali. Cioè \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).

Un Esempio

Una società ha presentato un’offerta per due grandi progetti di costruzione. Il presidente dell’azienda ritiene che la probabilità di vincere il primo contratto sia \(0.6\), la probabilità di vincere il secondo contratto sia \(0.4\), e la probabilità di vincere entrambi i contratti sia \(0.2\).

1. Qual è la probabilità che l’azienda vinca almeno un contratto?

Sia \(A\) = l’evento in cui l’azienda vince il primo contratto e \(B\) = l’evento in cui l’azienda vince il secondo contratto.

Quindi utilizzando la proprietà additiva, \(P(\texttt{at least one}) = P(A \cup B) = P(A) + P(b) + P(A \cap B) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8\).

Un Esempio (segue)

Una società ha presentato un’offerta per due grandi progetti di costruzione. Il presidente dell’azienda ritiene che la probabilità di vincere il primo contratto sia \(0.6\), la probabilità di vincere il secondo contratto sia \(0.4\), e la probabilità di vincere entrambi i contratti sia \(0.2\).

2. Qual è la probabilità che l’azienda vinca il primo contratto ma non il secondo?

Troviamola usando un diagramma di Venn. La probabilità è data da \(P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.2 = 0.4\).

Un Esempio (segue)

3. Qual è la probabilità che l’azienda non vinca nessuno dei due contratti?

La probabilità è data da \(P(A \cup B)^c = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.8 = 0.2\).

4. Qual è la probabilità che l’azienda vinca esattamente un contratto?

La probabilità è data da \(P(A \cup B^{c}) + P(B \cup A^{c}) = 0.4 + P(B) - P(B \cap A)= 0.4 + 0.4 - 0.2 = 0.6\).

Un altro Esempio

In un sondaggio telefonico sono stati intervistati \(1.000\) adulti di Chicago ed è stata chiesta la loro opinione sul costo dell’istruzione universitaria. Gli intervistati sono stati classificati in base al fatto che avessero attualmente un figlio al college e se pensassero che l’onere del prestito richiesto dalla maggior parte degli studenti universitari fosse troppo alto, l’importo giusto o troppo basso. Le proporzioni di coloro che appartengono a ciascuna categoria sono mostrate nella tabella delle probabilità di seguito. Supponiamo che un intervistato venga scelto a caso da questo gruppo:

1. Qual è la probabilità che l’intervistato abbia un figlio al college?

2. Qual è la probabilità che l’intervistato non abbia un figlio al college?

3. Qual è la probabilità che l’intervistato abbia un figlio al college o pensi che l’onere del prestito sia troppo alto o entrambe le cose?

Un altro Esempio (segue)

La tabella fornisce le probabilità per i sei eventi semplici nelle celle della tabella. Ad esempio, la voce nell’angolo in alto a sinistra della tabella è la probabilità che un intervistato abbia un figlio al college e pensi che l’onere del prestito sia troppo alto \((A \cap D)\).

1. L’evento in cui un intervistato ha un figlio al college si verificherà indipendentemente dalla sua risposta alla domanda sull’onere del prestito. Cioè, l’evento \(D\) è costituito dagli eventi semplici nella prima riga: \[P(D) = 0.35 + 0.08 + 0.01 = 0.44.\] In generale, le probabilità di eventi marginali come \(D\) e \(A\) si trovano sommando le probabilità nella riga o colonna appropriata.

2. L’evento in cui l’intervistato non ha un figlio al college è il complemento dell’evento \(D\) indicato con \(D^c\). La probabilità di \(D^c\) si trova come: \[P(D^c) = 1 - P(D)\] Utilizzando il risultato della parte 1, abbiamo \(P(D^c) = 1 - 0.44 = 0.56\).

3. L’evento di interesse è \(P(A \cup D)\). Utilizzando la proprietà additiva: \[P(A \cup D) = P(A) + P(D) - P(A \cap D) = 0.60 + 0.44 + 0.35 = 0.69\]