Probabilità condizionata e indipendenza

Obiettivi di apprendimento

Comprendere il concetto di probabilità condizionata.
Comprendere come utilizzare la regola moltiplicativa per trovare la probabilità dell’intersezione di due eventi.

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata di un evento $A$ posto che si è verificato un evento $B$ è scritta attraverso l’espressione $P(A\ | \ B)$ e si calcola utilizzando:

\[ P(A \ | \ B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Proprietà della probabilità condizionata

Poiché la probabilità condizionata è solo una probabilità, soddisfa i seguenti assiomi. Cioè, fintanto che $P(B) > 0$:

$P(A \ | \ B) \geq 0$
$P(B \ | \ B) = 1$
Se $A_1, A_2, \ldots A_k$ sono eventi che si escludono a vicenda, allora $P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k \ | \ B) = P(A_1 \ | \ B) + P(A_2 \ | \ B) + \ldots + P(A_k \ | \ B)$ e allo stesso modo per infinite unioni.

Regola moltiplicativa

Definizione. La probabilità che due eventi $A$ e $B$ si verifichino entrambi è data dalla regola moltiplicativa come:

$P(A \cap B) = P(A \ | \ B) \times P(B)$

o da:

$P(A \cap B) = P(B \ | \ A) \times P(A)$

Eventi indipendenti

Definizione 1. Gli eventi $A$ e $B$ sono eventi indipendenti se il verificarsi di uno di essi non influisce sulla probabilità del verificarsi dell’altro. Cioè, due eventi sono indipendenti se:

$P(B \ | \ A) = P(B)$

a condizione che $P(A) > 0$) o:

$P(A \ | \ B) = P(A)$

(ammesso che $P(B) > 0$).

Definizione 2. Gli eventi $A$ e $B$ sono eventi indipendenti se e solo se:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

In caso contrario, $A$ e $B$ vengono chiamati eventi dipendenti.

Un Esempio

Una classe universitaria ha 42 studenti di cui 17 maschi e 25 femmine. Supponiamo che l’insegnante selezioni due studenti a caso dalla classe. Supponiamo che il primo studente selezionato non venga reinserito nella popolazione della classe.

Qual è la probabilità che il primo studente selezionato sia una donna e il secondo un maschio?

Soluzione. Qui possiamo definire due eventi, $ F_1 $: il primo studente selezionato è una donna, $ M_2 $: il secondo studente selezionato è un uomo. In questo problema, abbiamo una situazione di probabilità condizionata. Vogliamo determinare la probabilità che il primo studente selezionato sia una donna e il secondo studente selezionato sia un maschio. Possiamo esprimerlo in termini di probabilità, come $P(F_1 \cap M_2)$. Per trovare la soluzione applichiamo la regola moltiplicativa: \[P(F_1 \cap M_2) = P(F_1)P(M_2 \ | \ F_1)\] $P(F_1) = \frac{24}{42} = 0.595$, è la probabilità di selezionare casualmente una studentessa. Ora, dato che il primo studente selezionato non è stato reinserito nella popolazione, il numero di studenti rimanenti è di 41, di cui 24 femmine e 17 maschi. Pertanto, la probabilità condizionale che venga selezionato uno studente maschio, dato che il primo studente selezionato era una donna, è: $P(M_2 \ | \ F_1) = P(M_2) = \frac{17}{41} = 0.415$,

e $P(F_1 \cap M_2 = 0.595 \times 0.415 = 0.247$ o $24.7\%$.

Un altro esempio

Le cartelle cliniche rivelano che dei 937 uomini morti in una particolare regione nel 2019:

212 sono morti per cause legate a malattie cardiache,
312 avevano almeno un genitore con malattie cardiache.

Dei 312 uomini con almeno un genitore con malattie cardiache, 102 sono morti per cause legate a malattie cardiache. Utilizzando queste informazioni, se selezioniamo a caso un uomo della regione, qual è la probabilità che muoia per cause legate a malattie cardiache, dato che nessuno dei suoi genitori è morto per malattie cardiache?

Soluzione.

Se definiamo due eventi in tal modo:

sia $H $ = l’evento in cui almeno uno dei genitori di un uomo selezionato a caso sia morto per cause legate a malattie cardiache e $D$ = l’evento in cui un uomo selezionato a caso sia morto per cause legate a malattie cardiache.

Creiamo la seguente tabella:

Calcoliamo la seguente probabilità condizionata:

$P(D \ | \ H^{c}) = \frac{P(D \cap H^{c})}{P(H^{c})} = \frac{110/937}{625/937} = \frac{110}{625} = 0.176$.