Obiettivi di apprendimento

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata di un evento \(A\) posto che si è verificato un evento \(B\) è scritta attraverso l’espressione \(P(A\ | \ B)\) e si calcola utilizzando:

\[ P(A \ | \ B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Proprietà della probabilità condizionata

Poiché la probabilità condizionata è solo una probabilità, soddisfa i seguenti assiomi. Cioè, fintanto che \(P(B) > 0\):

Regola moltiplicativa

Definizione. La probabilità che due eventi \(A\) e \(B\) si verifichino entrambi è data dalla regola moltiplicativa come:

\(P(A \cap B) = P(A \ | \ B) \times P(B)\)

o da:

\(P(A \cap B) = P(B \ | \ A) \times P(A)\)

Eventi indipendenti

Definizione 1. Gli eventi \(A\) e \(B\) sono eventi indipendenti se il verificarsi di uno di essi non influisce sulla probabilità del verificarsi dell’altro. Cioè, due eventi sono indipendenti se:

\(P(B \ | \ A) = P(B)\)

a condizione che \(P(A) > 0\)) o:

\(P(A \ | \ B) = P(A)\)

(ammesso che \(P(B) > 0\)).

Definizione 2. Gli eventi \(A\) e \(B\) sono eventi indipendenti se e solo se:

\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

In caso contrario, \(A\) e \(B\) vengono chiamati eventi dipendenti.

Un Esempio

Una classe universitaria ha 42 studenti di cui 17 maschi e 25 femmine. Supponiamo che l’insegnante selezioni due studenti a caso dalla classe. Supponiamo che il primo studente selezionato non venga reinserito nella popolazione della classe.

Qual è la probabilità che il primo studente selezionato sia una donna e il secondo un maschio?

Soluzione. Qui possiamo definire due eventi, $ F_1 $: il primo studente selezionato è una donna, $ M_2 $: il secondo studente selezionato è un uomo. In questo problema, abbiamo una situazione di probabilità condizionata. Vogliamo determinare la probabilità che il primo studente selezionato sia una donna e il secondo studente selezionato sia un maschio. Possiamo esprimerlo in termini di probabilità, come \(P(F_1 \cap M_2)\). Per trovare la soluzione applichiamo la regola moltiplicativa: \[P(F_1 \cap M_2) = P(F_1)P(M_2 \ | \ F_1)\] \(P(F_1) = \frac{24}{42} = 0.595\), è la probabilità di selezionare casualmente una studentessa. Ora, dato che il primo studente selezionato non è stato reinserito nella popolazione, il numero di studenti rimanenti è di 41, di cui 24 femmine e 17 maschi. Pertanto, la probabilità condizionale che venga selezionato uno studente maschio, dato che il primo studente selezionato era una donna, è: \(P(M_2 \ | \ F_1) = P(M_2) = \frac{17}{41} = 0.415\),

e \(P(F_1 \cap M_2 = 0.595 \times 0.415 = 0.247\) o \(24.7\%\).

Un altro esempio

Le cartelle cliniche rivelano che dei 937 uomini morti in una particolare regione nel 2019:

Dei 312 uomini con almeno un genitore con malattie cardiache, 102 sono morti per cause legate a malattie cardiache. Utilizzando queste informazioni, se selezioniamo a caso un uomo della regione, qual è la probabilità che muoia per cause legate a malattie cardiache, dato che nessuno dei suoi genitori è morto per malattie cardiache?

Soluzione.

Se definiamo due eventi in tal modo:

sia $H $ = l’evento in cui almeno uno dei genitori di un uomo selezionato a caso sia morto per cause legate a malattie cardiache e \(D\) = l’evento in cui un uomo selezionato a caso sia morto per cause legate a malattie cardiache.

Creiamo la seguente tabella:

Calcoliamo la seguente probabilità condizionata:

\(P(D \ | \ H^{c}) = \frac{P(D \cap H^{c})}{P(H^{c})} = \frac{110/937}{625/937} = \frac{110}{625} = 0.176\).