La geometria differenziale è una branca della matematica che studia gli spazi che possono essere descritti in un intorno di ciascun punto utilizzando un insieme di coordinate indipendenti. Questa teoria affonda le sue radici nella teoria locale delle curve e delle superfici nello spazio euclideo, la cui naturale evoluzione è la nozione di "varietà". Le varietà sono onnipresenti sia in matematica che al di fuori della matematica. In matematica, compaiono ad esempio nello studio degli aspetti geometrici delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) e nella topologia differenziale. In fisica, le varietà simplettiche e di Poisson sono alla base della meccanica hamiltoniana, le varietà pseudo-riemanniane sono alla base della teoria della relatività generale di Einstein, i fibrati vettoriali e le connessioni sono alla base delle teorie di Yang-Mills (come quelle che descrivono la fisica delle particelle elementari). Le varietà sub-riemanniane sono utilizzate nella teoria del controllo. Gli aspetti metrici delle varietà lisce sono utilizzati nella computer grafica e nella visione artificiale. Questo MOOC è una breve introduzione alle varietà lisce, in cui lo studente apprenderà le definizioni principali e i teoremi più importanti. A causa di vincoli di tempo e spazio, alcune dimostrazioni sono solo abbozzate, ma uno studente meticoloso dovrebbe essere in grado di colmare le lacune nella maggior parte delle dimostrazioni (e, in effetti, questo è un ottimo esercizio). Le lezioni contengono molti esempi essenziali per comprendere la teoria. Ogni lezione inizia con un video non troppo tecnico che introduce l'argomento e fornisce alcuni spunti di riflessione e motivazione.
- Docente: Francesco D'Andrea