Unit 1 - Cenni di Inferenza Statistica

Valore atteso della v.c. \(W\)
Trattandosi di variabili casuali i.i.d. (identicamente e indipendentemente distribuite), ricorrendo alle proprietà definite per la media, si dimostra facilmente che il valore atteso di \(W\) è dato da \(n\mu\), infatti

\[ E[W] = E\left[ \sum_{i=1}^n X_i \right] \]

L’operatore \(E[ \, ]\) è un operatore lineare e può essere distribuito all’interno della sommatoria.
Poiché le \(X_i\) sono i.i.d. si ha

\[E[W] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n\mu = n\mu .\]

Il \(\boxed{\text{valore atteso di } X_i}\) è uguale a \(\mu\) per tutte le \(X_i\) poiché siamo sotto l’ipotesi i.i.d..