Unit 1 - Cenni di Inferenza Statistica

Stabilito che \(\mathrm{E}[W] = n\mu\), dimostriamo che la varianza di \(W\) è uguale a \(n\sigma^2\) sotto la condizione di v.c. i.i.d..

La varianza della v.c. somma campionaria

• \(\sigma_W^2 = \mathrm{E}[(W - \mathrm{E}[W])^2] = \mathrm{E}[(W^2 - \mathrm{E}[W]^2)]\)

• Andando a sostituire \(W\) con \(\sum_{i=1}^{n}{X_i}\) abbiamo che  \(\color{brown}{\mathrm{E}[(\sum_{i=1}^{n}{X_i})^2 - ([\mathrm{E}[\sum_{i=1}^{n}{X_i}])^2]}\).

• Osserviamo che \(\mathrm{E}[(\sum_{i=1}^{n}{X_i})^2] = \mathrm{E}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)^2]\) ed è il quadrato di un polinomio e pertanto (esemplificando a \(n=3\)) abbiamo che
  \[\begin{array}{rcl}\mathrm{E}\left[\left(\sum_{i=1}^{3}{X_i}\right)^2\right] &=&  \mathrm{E}\left[X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + 2X_1X_2 + 2X_1X_3 + 2X_2X_3\right] \\ \, &=& \mathrm{E}[X^2] + \mathrm{E}[X^2] + \mathrm{E}[X^2] + 2\mathrm{E}[X^2] + 2\mathrm{E}[X^2] +  2\mathrm{E}[X^2]  \\[6pt]  \, &=& n\times n\mathrm{E}[X^2] \end{array} \]

• È da notare che poiché la variabili sono identiche e indipendenti tutti i termini \(2\mathrm{E}[X_iX_{i^{\prime}}]=2\mathrm{E}[X_i^2]\) e quindi \(\color{brown}{\mathrm{E}[n^2{X}^2 - n^2\mu^2] = n\mathrm{E}[(X - \mu)^2] = n\sigma_X^2}\).