Unit 1 - Cenni di Inferenza Statistica

Lo stimatore media campionaria è non distorto rispetto a \(\mu\)
Sia \(\{X_1, X_2, \dots , X_n\}\) un campione casuale da una popolazione con media \(\mu\). Lo stimatore media campionaria sarà definito come:

\[ \textstyle{\bar{X}_{(n)} = \dfrac{1}{n}({X_1 + X_2 + \cdots + X_n})}, \]

la cui speranza matematica è:

\[ E[\bar{X}_{(n)}] = E\left[\dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}\right] ; \]

distribuendo l’operatore speranza matematica abbiamo:

\[ {\textstyle E[\bar{X}_{(n)}] = \dfrac{1}{n}\left({E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_n]}\right)} ; \]

poiché \( E[X_1]=E[X_2]= \cdots = E[X_n] = \mu \) , si ha:

\[ {\displaystyle E[\bar{X}_{n}] = \dfrac{\mu + \mu + \cdots + \mu}{n} = \dfrac{n\mu}{n}=\mu  } \quad \blacksquare \]