Unit 1 - Cenni di Inferenza Statistica

Lo stimatore naturale della varianza è distorto rispetto a \(\sigma^2\)
Sia \(\{X_1, X_2, \dots , X_n\}\) un campione casuale da una popolazione con varianza \(\sigma^2\).
Lo stimatore naturale della varianza sarà definito come:

\[ S^{2}_{(n)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i - \bar{X}_{(n)})^2}, \]

notare che per definire lo stimatore della varianza dobbiamo utilizzare \(\bar{X}_{(n)}\) al posto di \(\mu\), che è esso stesso uno stimatore, ma dobbiamo imporre il seguente vincolo:

\[ \mathrm{E}[X_i] = \mathrm{E}[\bar{X}] =\mu \hspace{1.5cm} \forall X_i:  i=1,2,\cdots , n \]

Il valore atteso di \(S^2_{(n)}\) è esprimibile come:

\[ \boxed{\mathrm{E}[S^{2}_{(n)}] = \mathrm{E}\left[{(X_i - \bar{X}_{(n)})^2}\right]} \]

Trattandosi di una funzione quadratica non è possibile distribuire l’operatore speranza matematica.