Unit 1 - Cenni di Inferenza Statistica

\[ \mathrm{E}[S^{2}_{(n)}] = \mathrm{E}\left[{\left((X_i - \mu)-(\bar{X}_{(n)} -\mu)\right)^2}\right] \]

si ricava (dalle proprietà della varianza)

\[ \mathrm{E}[S^{2}_{(n)}] = \mathrm{E}\left[{(X_i - \mu)^2} - (\bar{X}_{(n)} -\mu)^2\right] \]

Osserviamo che:

• \(\mathrm{E}\left[{\left((X_i - \mu)-(\bar{X}_{(n)} -\mu)\right)^2}\right]\) è la varianza di \((X_i - \bar{X})\) e quindi si può scrivere utilizzando la formula ridotta della varianza come \(\mathrm{E}\left[(X_i - \mu)^2\right] - \mathrm{E}\left[(\bar{X}_{(n)} -\mu)^2\right]\)

• \(\mathrm{E}\left[(X_i - \mu)^2\right]=\sigma^2\)

• \(\displaystyle{\mathrm{E} \left[(\bar{X}_{(n)} -\mu)^2 \right] =\frac{\sigma^2}{n}}\)