Unit 1 - Cenni di Inferenza Statistica

Osservazione:
Si osservi che:

\[ \mathrm{MSE}(\theta) = \mathrm{var}\left(T(X_{(n)})\right) + \left\{t_{(\theta)} - \mathrm{E}[T(X_{(n)})] \right\}^2, \]

dove con \(T(X_{(n)})\) abbiamo indicato lo stimatore \(T(X_1, X_2, \dots , X_n)\) e con \(t(\theta)\) la stima corrispondente.

Dimostrazione:

\[ \begin{array}{l} \mathrm{MSE}(\theta) &=& \mathrm{E}\left[(T(X_{(n)}) - t_{(\theta)})^2 \right]\\[3pt]  &=& \mathrm{E}\left[\left[(T(X_{(n)}) - \mathrm{E}[T(X_{(n)})]) - (t_{(\theta)} -\mathrm{E}[T(X_{(n)})]) \right]^2\right]\\[3pt] &=& \mathrm{E}[(T(X_{(n)}) - \mathrm{E}[T(X_{(n)})])^2] -2\mathrm{E}[(T(X_{(n)}) - \\[3pt] &   &  - \mathrm{E}[T(X_{(n)})])](t_{(\theta)} - \mathrm{E}[T(X_{(n)})])+  \mathrm{E}[(t_{(\theta)} -\mathrm{E}[T(X_{(n)})])^2]\\[3pt]  &=& \mathrm{var}(T(X_{(n)})) + \left\{t_{(\theta)} -\mathrm{E}[T(X_{(n)})] \right\}^2 \quad \blacksquare \end{array} \]

Abbiamo dimostrato che l’Errore Quadratico Medio è dato dalla somma di due quantità non negative che sono:

• la varianza dello stimatore
• la distorsione al quadrato

\(\left\{t(\theta) − E[T(X_{(n)})]\right\}\) rappresenta proprio la distorsione di \(T(X_{(n)})\).