Una particolare trasformazione lineare: la standardizzazione

Consideriamo la serie \(X : x_1, x_2, \dots , x_N\) e definiamo le seguenti trasformazioni di \(X\):

centratura: la serie \(Y = (X − \bar{x})\) si definisce serie centrata. In base alle proprietà della media aritmetica, possiamo affermare che

\[\color{brown}{\bar{y} = 0} . \]

riduzione: dividere una serie per la propria deviazione standard prende il nome di riduzione. Se alla serie centrata \(Y\) applichiamo la trasformazione di riduzione, per le proprietà della varianza, otteniamo la serie \(Z = Y /\sigma\)  che ha media \(0\) e varianza e deviazione standard pari ad \(1\).

\[ \color{brown}{\bar{z} = 0, \qquad \sigma_Z^2 = \sigma_Z = 0} \]