Unit 2: indici di forma

Momento quarto e indice di kurtosi di Fisher.
La kurtosi (dal greco κυρτóς = gobba) definisce una misura della altezza della gobba della distribuzione e di conseguenza dello spessore delle code. Poiché l’area sottesa dalla funzione  di distribuzione è una costante, a parità di variabilità, se una distribuzione si presenta con una gobba alta avrà code basse e viceversa. Questo è un aspetto estremamente rilevante.

Il momento quarto centrato fornisce informazioni relative al grado di kurtosi della distribuzione:

\[ \color{brown}{m^4_{(\bar{X})} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^4} \]

Questo indice è influenzato anche dalla variabilità della distribuzione, oltre che dalla frequenza presente nelle code. L’indice \(\gamma^4\) di Fisher, come abbiamo già visto per l’asimmetria (con l’indice \(\gamma^3\) ), risolve questo problema normalizzando rispetto alla variabilità, ovvero imponendo \(\sigma^2 = 1\).

\[ \gamma^4 = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{\sigma} \right)^4 = \dfrac{ m^4_{ (\bar{X}) } }{ \left( m^2_{(\bar{X})} \right)^2 } .\]

\(\gamma^4 < 3 =\) leptocurtosi,   \( \gamma^4 > 3 =\) platicurtosi,   \( \gamma^4 = 3 =\) normocurtosi