Unit 4: indici di posizione (parte 3 di 3)
Aggregazione dei criteri
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- Tendenza centrale: indici analitici
- La centralità
- La centralità: le medie trimmed
- Notazione (digressione)
- La media aritmetica
- Proprietà della media aritmetica
- Media aritmetica per dati raggruppati in classi
8. Proprietà della media aritmetica (2)
La somma degli scarti degli elementi di una serie \(X: x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots x_N\) da una generica media \(\min{(X)} \leq {\cal M} \leq \max{(X)}\) è \(0\) solo se \({\cal M}\equiv \bar{x}\) (criterio di Kolmogorov-De Finetti). Formalmente: \[\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x}) = 0.\]
Dimostriamo:\[\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{N}{x_i} - \sum_{i=1}^{N}{\bar{x}} = \sum_{i=1}^{N}{x_i} - N\bar{x} = 0\]
Portando a destra il secondo termine, dalla precedente proprietà:
\[\sum_{i=1}^{N}{x_i} = N\bar{x}_\blacksquare . \]
Osservare che la sommatoria si può portare all'interno della parentesi, si può distribuire, per la proprietà distributiva della somma aritmetica. Non sempre è possibile distribuire la sommatoria.
