Unit 4: indici di posizione (parte 3 di 3)
Completion requirements
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- Tendenza centrale: indici analitici
- La centralità
- La centralità: le medie trimmed
- Notazione (digressione)
- La media aritmetica
- Proprietà della media aritmetica
- Media aritmetica per dati raggruppati in classi
9. Proprietà della media aritmetica (3)
La media aritmetica è il centro di ordine 2 (criterio di Wald).
Sia \({\cal M}\) una generica media (soddisfa il criterio della internalità), si dimostra che la funzione
\[
\sum_{i=1}^{N}{(x_i - {\cal M})^2} = \min!
\]
vale se e solo se \({\cal M}\equiv \bar{x}\) è la media aritmetica.
Dimostriamo
Per dimostrare bisogna: derivare la funzione rispetto alla variable \({\cal M}\)
\[ f'({\cal M}) = -2\sum_{i=1}^{N}{(x_i - {\cal M})},\]
porre la derivata a \(0\) e calcolare il valore di \({\cal M}\) che annulla l'equazione
\[
\begin{array}{rl}
2\sum_{i=1}^{N}{\cal M} - 2\sum_{i=1}^{N}{x_i} &= 0\cr N{\cal M} &= \sum_{i=1}^{N}{x_i}\cr {\cal M} &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i}_\blacksquare
\end{array}
\]
Diremo, quindi, che la media aritmetica minimizza la funzione di perdita \( \sum_{i=1}^{N}{(x_i - {\cal M})^2}\).
Dimostriamo
Per dimostrare bisogna: derivare la funzione rispetto alla variable \({\cal M}\)
\[ f'({\cal M}) = -2\sum_{i=1}^{N}{(x_i - {\cal M})},\]
porre la derivata a \(0\) e calcolare il valore di \({\cal M}\) che annulla l'equazione
\[
\begin{array}{rl}
2\sum_{i=1}^{N}{\cal M} - 2\sum_{i=1}^{N}{x_i} &= 0\cr N{\cal M} &= \sum_{i=1}^{N}{x_i}\cr {\cal M} &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i}_\blacksquare
\end{array}
\]
Diremo, quindi, che la media aritmetica minimizza la funzione di perdita \( \sum_{i=1}^{N}{(x_i - {\cal M})^2}\).
