Unit 1 - Cenni di Calcolo delle Probabilità

Definizione
Sia \(X\) una variabile casuale continua, si definisce funzione di densità delle probabilità la funzione \(f(x)\) tale che:

• \(f(x) \geq 0 \; \forall x\)

• \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = 1\)

• \(P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b  f(x)\mathrm{d}x\), con \(a \leq b\)

Dalla precedente definizione si ricava che:

• \(F(X = a) = \displaystyle\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x = P(X \leq a)\);

• \(f(x) = F'(X)\) in tutti i punti in cui \(F(x)\) è differenziabile;
  la funzione di densità di probabilità equivale alla derivata prima della funzione di ripartizione \(F(x)\).