Unit 1 - Cenni di Calcolo delle Probabilità

Sia \(X\) una generica variabile casuale, la quantità

\[m^r =  \int_{-\infty}^{\infty}x^r f(x) \mathrm{d}x\]

si definisce momento di ordine \(r\).
Analogamente, la quantità 

\[ m^r =  \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^r f(x) \mathrm{d}x \]

si definisce momento centrato di ordine \(r\).

Se ne deduce che:

• la media è il momento di ordine \(1\)

• la varianza è il momento centrato di ordine \(2\) e che può  essere definita come la differenza fra il momento di ordine 2 (\( \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x) \mathrm{d}x\)) ed il quadrato del momento di ordine \(1\):

  \[\sigma^2 =  \int_{-\infty}^{\infty}(x)^2 f(x) \mathrm{d}x - \mu^2 \]

  o analogamente

  \[\sigma^2=E[X^2]-\mu^2 \]