Unit 1 - Cenni di Calcolo delle Probabilità

Sia \(X\) una generica v.c. di Bernulli a parametro \(\pi\), indichiamo con \(E[X]\) il suo valore atteso che sarà definito come la somma del valore di \(X\) moltiplicato per la probabilità dell’evento corrispondente.
Abbiamo visto che:

• \(X = 1\) se l’evento è F, mentre \(X = 0\) nel caso di C;

• \(P(X = 1) = \pi\)  e  \(P(X = 0) = (1 − \pi)\)

Valore atteso di \(X\)

\[E[X] = 1\times\pi + 0\times (1-\pi) = \color{brown}{\pi}\]

Varianza di \(X\)

\[ \begin{aligned} E[(X - \pi)^2] &= (1-\pi)^2\times\pi + (0 - \pi)^2\times(1-\pi) = \\ &=(1- 2\times\pi + \pi^2)\times\pi + \pi^2\times(1-\pi) =\\ &= \pi -2\times\pi^2 + \bcancel{\pi^3} + \pi^2 - \bcancel{\pi^3} = \color{brown}{\pi\times(1-\pi)}. \end{aligned} \]

Analogamente, ricordando che la varianza è definibile anche come la differenza fra il momento secondo e il quadrato del momento primo si ha:

\[ \begin{aligned} E[(X - \pi)^2] & =  (1^2\pi + 0^2(1 - \pi)) - \pi^2 \\[3pt] & =  \pi - \pi^2 \\[3pt] & =  \pi(1-\pi). \end{aligned} \]