Unit 1 - Cenni di Calcolo delle Probabilità

Definizione
La v.c. \(X\) si definisce Binomiale, e si indica con la notazione \(X \sim Bin(n, \pi)\) se lo spazio campionario è definito da numero di successi che si possono ottenere in \(n\) prove bernulliane a parametro costante \(\pi\). La funzione di distribuzione di probabilità corrispondente, che indichiamo con \(f(x | n, \pi)\), esprime la quantità \(P(X = x), (\forall x \in \{1, 2, 3, \dots, n\})\), cioè esprime la probabilità che su \(n\) prove bernulliane si verifichino \(x\) eventi favorevoli, indipendentemente dall’ordine con cui si presentano. Formalmente, la sua funzione di distribuzione di probabilità è

\[f(x) = \dfrac{n!}{x! \times (n − x)!} \times \pi^x \times (1 − \pi)^{(n−x)}\]

Valore atteso e varianza
Avendo definito la v.c. Binomiale come una somma di v.c. di Bernulli possiamo ricavare il valore atteso e la varianza come somma del valore atteso (proprietà della media) e della varianza (proprietà della varianza^a) della Bernulli, pertanto

• \(E[X] = n \times \pi\)

• \(E[(X − E[X])^2] = n \times \pi \times (1 − \pi)\)

aSe le prove sono eseguite sotto la condizione di indipendenza e il parametro \(\pi\)
è costante, la varianza totale si può esprimere come somma delle varianze.