Unit 2 - Verifica di ipotesi

\(\boldsymbol{H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0}\) contro \(\boldsymbol{H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0}\)
Per la verifica di \(H_0\) utilizziamo le medie campionarie \(\bar{X}_1\) e \(\bar{X}_2\). Sotto \(H_0\) abbiamo che

\[ \bar{X}_1 \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n_1}\right) \]

\[ \bar{X}_2 \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n_2}\right) \]

da cui abbiamo che la statistica test è

\[ \displaystyle{\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1} + \frac{\sigma^2}{n_2}}}} \]

Avendo assunto che i campioni sono indipendenti e che le varianze sono uguali, possiamo definire la statistica test attraverso la somma delle variabili casuali \(\bar{X}_1\) e \(\bar{X}_2\), (\(\bar{X}_1-\bar{X}_2\) algebricamente è una somma!).
Ricordiamo che la somma di v.c. normali è ancora una normale e che sotto la condizione di indipendenza la varianza è espressa dalla somma delle varianze, quindi

\[ \displaystyle{\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\sigma^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \sim N(0,1)} \]