Unit 2 - Verifica di ipotesi

Distribuzione di \(\boldsymbol{X}\) non normale e teorema del limite centrale
Nel caso in cui la distribuzione della variabile \(X\) non può essere assunta come normale e sotto l'ipotesi che la varianza è nota e che i campioni sono indipendenti, il teorema del limite centrale consente di stabilire che per \(n\geq 30\), se la distribuzione di \(X\) è simmetrica o moderatamente asimmetrica, possiamo ragionevolmente assumere che sotto \(H_0: \mu = k\), con \(k\) generica costante, la statistica campionaria

\[\frac{\bar{X}-k}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \approx N(0,1)\]

Analogamente, nel caso di due campioni indipendenti con ipotesi nulla \(H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0\), sotto la condizione di varianze omogenee abbiamo

\[\displaystyle{\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\sigma^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \approx N(0,1)}\]

Sotto le stesse ipotesi, se \(n_1 = n_2\), si avrà

\[ \displaystyle{\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{2\sigma^2}{n}}} \approx N(0,1)} \]