Unit 2 - Verifica di ipotesi
14. Il test su medie per \(X\sim N\) e \(\sigma^2\) non noto
Sotto le condizioni \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) con \(\sigma^2\) non è noto, il test statistico sulla media presuppone il ricorso ad una stima di \(\sigma^2\) a partire da uno stimatore che goda delle proprietà desiderabili per uno stimatore (possibilmente il miglior stimatore).
Il test \(\boldsymbol{t}\)
Dato un campione di ampiezza \(n\) consideriamo le seguenti ipotesi nulla e alternativa
\(H_0: \mu=k\)
\(H_1: \mu \neq k\) (o altra ipotesi unidirezionale o semplice)
Abbiamo visto che il miglior stimatore di \(\sigma^2\) è la varianza campionaria \(\hat{S}^2\) e pertanto a partire da questo possiamo ottenere la stima \(\hat{s}^2\) per \(\sigma^2\) e scrivere la statistica test standardizzata come
\[ \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\hat{S}^2}{n}}} \equiv \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{S^2}{n-1}}} \]
Come si distribuisce questa quantità? È il rapporto fra due v.c. e quindi è anche essa una v.c. e per capire come si distribuisce è necessario capire come si distribuisce \(\hat{S}^2_{(n)}\).
