Unit 2 - Verifica di ipotesi

Riprendiamo lo stimatore di \(\sigma^2\) varianza campionaria ricordando che:

\[ \hat{S}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i - \bar{X})^2} \]

da cui, aggiungendo e sottraendo \(\mu\) e passando alla formula ridotta per il calcolo della varianza avremo:

\[ \begin{eqnarray*} \hat{S}^2 &=& \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{[(X_i -\mu) - (\bar{X} - \mu)]^2}  =  \cr  &=& \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i -\mu)^2 - \frac{n}{n-1}(\bar{X} - \mu)^2}, \end{eqnarray*}\]

da cui, dividendo tutto per \(\sigma^2\) e moltiplicando per \((n-1)\), si ha:

\[ \frac{(n-1)}{\sigma^2}\hat{S}^2 = \sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{X_i -\mu}{\sigma}\right)^2} - n\left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}\right)^2 \]