Unit 2 - Verifica di ipotesi

Riprendiamo la precedente:

\[ \frac{(n-1)}{\sigma^2}\hat{S}^2 = \sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{X_i -\mu}{\sigma}\right)^2} - n\left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}\right)^2. \]

Osserviamo che, se \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\), allora:

• \(\color{brown}{\displaystyle{\left(\frac{X_i -\mu}{\sigma}\right)}\sim N(0,1)}\)
• \(\color{brown}{\displaystyle{\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar{X} -\mu)}\sim N(0,1)}\)

da cui si ricava che:

\[ \frac{(n-1)}{\sigma^2}\hat{S}^2 \sim \chi^2_{n-1} \]

Infatti la quantità a sinistra della eq. in alto è la somma di \(n\( v.c. \(N(0,1)\) al quadrato meno un'altra \(N(0,1)\) sempre al quadrato. Poiché anche la v.c. \(\chi^2\) gode della proprietà della riproduttività rispetto alla somma, si avrà che \(\color{brown}{\chi^2_{n} - \chi^2_{1} = \chi^2_{(n-1)}}\).