Unit 2 - Verifica di ipotesi

Utilizzando il risultato:

\[ \frac{(n-1)}{\sigma^2}\hat{S}^2 \sim \chi^2_{n-1} \]

è possibile definire gli intervalli di confidenza (intervalli di fiducia) utilizzando la distribuzione tabulata dell \(\chi^2_n\).
Assumiamo \(n=10\) e che \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\). Utilizzando la tavola della \(\chi^2_9\) per \(n-1=9\) g.d.l troviamo che  il quinto e il novantacinquesimo percentile della distribuzione sono rispettivamente \(3,32\) e \(16.91\). L'intervallo di confidenza con probabilità pari \(0,9\) per \(\hat{S}^2_{(9)}\) è:

\[ \mathrm{P}\left(3,32 < 9\frac{\hat{S}^2_{(n)}}{\sigma^2} < 16,91\right) = 0,9 \]

da cui 

\[ \mathrm{P}\left(\frac{9\hat{S}^2_{9}}{3,32} > \sigma^2 > \frac{9\hat{S}_{9}^2}{16,91}\right) = 0,9 \]