Unit 2 - Verifica di ipotesi

Altra distribuzione campionaria fondamentale dell'inferenza statistica è quella associata alla v.c. \(t\) di Student. Definiamo la v.c. \(t_{(g.d.l.)}\) di Student come il rapporto fra una v.c. Normale standard e la radice quadrata di una v.c. chi-quadrato rapportata ai propri g.d.l., indipendenti fra di loro. La v.c. così definita avrà come unico parametro i g.d.l. della v.c. \(\chi^2\) posta al denominatore.

\[ \frac{\frac{(X - \mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{\chi^2_{n}}{n-1}}} \sim t_{(n-1)} \]

Media campionaria con \(\sigma^2\) incognito
Consideriamo le v.c. \(\bar{X}\) e \(\hat{S}^2\), ricordando che la varianza di \(\bar{X}\) è \(\frac{\sigma^2}{n}\) e che \(\hat{S}^2 = \frac{n}{n-1}S^2\), definiamo l'errore standard come 

\[ \color{brown}{\boxed{\mathrm{ES}_{\bar{X}} = \frac{1}{\sqrt{n-1}}S = \frac{1}{\sqrt{n}}\hat{S}}}, \]

passiamo alla standardizzata della \(\bar{X}\):

\[ \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{S^2_{n}}{n-1}}} \sim t_{(n-1)}, \]

per dimostrare che è effettivamente una \(t\) di Student basta dividere numeratore e denominatore per la quantità incognita \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\):

\[ \frac{\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{nS^2_{n}}{\sigma^{2}(n-1)}}} \sim t_{(n-1)} .\]