Unit 2 - Verifica di ipotesi
22. Test delle medie con varianze incognite e omogenee /1
Data una variabile \(X\) per la quale è possibile assumere la distribuzione secondo una normale con varianza incognita e due campioni indipendenti di ampiezza \(n_1\) e \(n_2\), si vuole verificare l'ipotesi \(\color{brown}{H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0}\) contro l'ipotesi alternativa \(\color{brown}{H_1: \mu_1 - \mu_2\neq 0}\).
Se \(\sigma\) fosse noto utilizzeremmo la statistica test
\[\color{brown}{\displaystyle{\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\sigma^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \sim N(0,1)}}.\]
Poiché \(\sigma\) è incognito usiamo il miglior stimatore che abbiamo per \(\sigma\) utilizzando lo stimatore
\[\hat{S}^2_{n_1 + n_2- 2 } = \frac{n_1 S^2_1 + n_2S^2_2}{n_1 + n_2 -2} = \frac{(n_1 -1)\hat{S}^2_1 + (n_2 -1)\hat{S}^2_2}{n_1 + n_2 -2}.\]
Questo stimatore è detto varianza campionaria congiunta.
