Unit 2 - Verifica di ipotesi

Data una variabile \(X\) per la quale è possibile assumere la distribuzione secondo una normale con varianza incognita e due campioni indipendenti di ampiezza \(n_1\) e \(n_2\), si vuole verificare l'ipotesi \(\color{brown}{H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0}\) contro l'ipotesi alternativa \(\color{brown}{H_1: \mu_1 - \mu_2\neq 0}\).

Sostituendo \(\sigma\) con lo stimatore nella statistica test si avrà

\[ \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\color{brown}{\frac{(n_1-1)\hat{S}^2_1 + (n_2-1)\hat{S}^2_2}{n_1+n_2-2}}\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \sim t_{n_1+n_2-2}.\]

Nel caso di \(n_1 = n_2\) la precedente si semplifica in

\[\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\color{brown}{\frac{\hat{S}^2_1 + \hat{S}^2_2}{n}}}} =  \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\color{brown}{\frac{S^2_1 + S^2_2}{n-1}}}}\sim t_{n_1+n_2-2}.\]