Unit 2 - Verifica di ipotesi

Abbiamo visto che la distribuzione \(t\) di Student consente di fare inferenza sul parametro \(\mu\) di una di una generica variabile \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\) dove \(\sigma^2\) è incognita. In particolare abbiamo dimostrato che la distribuzione \(t\) permette di porre a verifica mediante test statistico le seguenti ipotesi \(H_0\):

• \(\color{brown}{H_0: \mu = c}\) contro \(H_1: \mu \neq c\), dove \(c\) è una costante generica e \(H_1: \mu < c\), \(H_1: \mu > c\) e \(H_1: \mu = c^\prime\) sono casi particolari;
• \(\color{brown}{H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0}\) contro  \(H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0\)

Nel caso del test sulla differenza di medie, sotto le ipotesi di campioni indipendenti, la statistica test è 

\[t_{n_1+n_2 -2} = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{(n_1 -1 )\hat{S}_1^2 + (n_2 - 1)\hat{S}_2^2}{n_1+n_2 -2}\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right) } } \]

La distribuzione \(\chi^2\) gode della proprietà della riproduttività. Il numeratore del denominatore \((n_1 -1 )\hat{S}_1^2 + (n_2 - 1)\hat{S}_2^2\) sarà ancora una distribuzione \(\chi^2\) se la \(X_1\) e la \(X_2\) sono omogenee rispetto alla varianza: \(\color{brown}{\sigma_1^2 = \sigma^2_2 = \sigma^2}\), si dice sono omoscedastiche o omogenee rispetto a \(\sigma^2\).