Unit 2 - Verifica di ipotesi

Riprendiamo il test sulla differenza fra medie e assumiamo \(\bar{X}_1\) e \(\bar{X}_2\) sono v.c. indipendenti e omoscedastiche (\(\sigma_1^2 = \sigma^2_2\)) quindi sotto \(H_0\) si avrà che sono i.i.d.. Se \(n_1=n_2=n\)  valgono le seguenti condizioni:

• \(\displaystyle{\mathrm{Var}(\bar{X}_1) = \mathrm{Var}(\bar{X}_2) = \frac{\sigma^2}{n}}\)
• \(\displaystyle{\mathrm{Var}(\bar{X}_1 -\bar{X}_2) = 2 \frac{\sigma^2}{n}}\)

da cui ricaviamo che:

\[ t_{n_1+n_2-2} = \frac{\frac{\sqrt{n}\bar{X}_1}{\sigma} - \frac{\sqrt{n}\bar{X}_2}{\sigma}}{\sqrt{\left(\frac{n(n-1)\hat{S}_1^2}{\sigma^2} + \frac{n(n-1)\hat{S}_2^2}{\sigma^2}\right)\frac{1}{n+n-2}}}\]

\[ t_{n_1+n_2-2} = \frac{\sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\left(\bar{X}_1 - \bar{X}_2 \right)}{\sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\sqrt{\frac{(n-1)\hat{S}_1^2 + (n-1)\hat{S}_2^2}{n+n-2}}} =  \frac{\left(\bar{X}_1 - \bar{X}_2 \right)}{\sqrt{\frac{(n-1)\hat{S}_1^2 + (n-1)\hat{S}_2^2}{n+n-2}}}\]