Unit 3 - v.c. F di Fisher

Abbiamo visto che per determinare la varianza campionaria congiunta sotto la condizione \(H_0\) è necessario assumere campioni indipendenti (in modo che la varianza totale può essere determinata come somma delle varianze) e varianze omogenee. 
Per verificare se è possibile accettare l'ipotesi che le varianze \(\sigma^2_1\) e \(\sigma^2_2\) sono omogenee è possibile procedere attraverso un test statistico. Esistono vari tipi di test per verificare questa ipotesi. Sicuramente, il più utilizzato (anche per la sua semplicità) è il test sulla omogeneità delle varianze. 

La statistica test è determinata attraverso il seguente rapporto 

\[ F_{(n_1-1,n_2-1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_{i1} - \bar{X}_1)^2}{\sigma^2(n_1-1)}\times \frac{\sigma^2(n_2-1)}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_{i2} - \bar{X}_2)^2} = \frac{\hat{S}^2_1}{\hat{S}^2_2} \]

Sotto la condizione di campioni indipendenti e \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) (ipotesi nulla), la statistica è il rapporto fra due v.c. \(\chi^2\), ciascuna rapportata ai propri gradi di libertà e pertanto si distribuisce secondo una \(F\) di Fisher, con gradi di libertà corrispondenti a quelli del numeratore e denominatore.