Unit 1 - Associazione fra caratteri: definizioni e misure per i caratteri statistici

L’indice di accostamento \(\chi^2\)

Bisogna confrontare le frequenze osservate con le frequenze teoriche (o dette anche attese) e stabilirne il grado di accostamento

• Considerando che i marginali restano invariati, un confronto semplice produrrebbe come risultato \(0\)
• La quantità \((n_{ij}-\hat{n}_{ij})\) viene definita contingenza
  \[ \sum_{i}^{I}{\sum_{j}^{J}{\left(n_{ij} - \hat{n}_{ij}\right) }} = \color{brown}{0} \]
• Elevando al quadrato le contingenze si evita la compensazione
  \[ \sum_{i}^{I}{\sum_{j}^{J}{\left( n_{ij} - \hat{n}_{ij} \right)^{\color{brown}{2}}}} \]
• Ponderando per l’inverso delle frequenze teoriche si attribuisce un peso maggiore alle contingenze che hanno frequenze teoriche più basse.
  \[ \color{brown}{\chi^2} = \sum_{i}^{I}{ \sum_{j}^{J}{\frac{\left(n_{ij} - \hat{n}_{ij}\right)^2}{\hat{n}_{ij}}}} \]