Unit 1 - Associazione fra caratteri: definizioni e misure per i caratteri statistici

L’indice \(\chi^2\) può essere anche visto come una media ponderata del grado di eterogeneità delle righe (o delle colonne) di una tabella di contingenza di \(I\) righe e \(J\) colonne con generico elemento \(n_{ij}\)

\[ \begin{eqnarray}\nonumber H^2 &=& \sum_{j=1}^{J}{n_{\cdot j}\sum_{i=1}^{I}{\frac{(n_{ij}/n_{\cdot j} - n_{i\cdot})^2}{n_{i\cdot}}} } =\cr &=& \sum_{j=1}^{J}n_{\cdot j}{\sum_{i=1}^{I}{\frac{1}{n_{i\cdot}}\left(\frac{n_{ij}}{n_{\cdot j}} - n_{i\cdot}\right)^2 }} = \sum_{j=1}^{J}n_{\cdot j}{\sum_{i=1}^{I}{\frac{1}{n_{i\cdot}}\left(\frac{n_{ij}^{2}}{n_{\cdot j}^{2}} - 2\frac{n_{ij}n_{i\cdot} }{n_{\cdot j}}  + n_{i\cdot}^{2}\right) }} =\cr &=& \sum_{j=1}^{J} n_{\cdot j} \sum_{i=1}^{I}\frac{n_{ij}^2}{n_{i\cdot}n_{\cdot j}^2} -2\sum_{j=1}^{J} n_{\cdot j} \sum_{i=1}^{I}\frac{1}{n_{i \cdot}} \frac{n_{ij}n_{i \cdot}}{n_{\cdot j}} +\sum_{j=1}^{J} n_{\cdot j}\sum_{i=1}^{I}\frac{1}{n_{i \cdot}} n_{i\cdot}^2 = \cr &=& \sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{I}\frac{n_{ij}^2}{n_{i\cdot}n_{\cdot j}} -2 \sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{I}n_{ij} + \sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{I}n_{i\cdot}n_{\cdot j} = \cr  &=& \color{brown}{\boxed{\sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{I}\frac{n_{ij}^2}{n_{i\cdot}n_{\cdot j}} - n_{\cdot\cdot} } } \end{eqnarray} \]

E' facile verificare la seguente uguaglianza

\[ \sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{I}\frac{n_{ij}^2}{n_{i\cdot}n_{\cdot j}} -n_{\cdot\cdot} = \sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{I}\frac{(n_{ij} - n_{i\cdot}n_{\cdot j})^2}{n_{i\cdot}n_{\cdot j}} = \chi^2 \]