Unit 1 - Associazione fra caratteri: definizioni e misure per i caratteri statistici

Ripartiamo dalla seguente espressione

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{n_{ij}^2}{n_{i\cdot}n_{\cdot j}} - n_{\cdot\cdot}  \]

ricordando che

\[ \phi^2 = \frac{1}{n_{\cdot\cdot}}\chi^2 = \sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{f_{ij}^2}{f_{i\cdot}f_{\cdot j}} -1 \]

assumiamo che \(I > J\) (il numero di righe è maggiore del numero di colonne) e consideriamo solo la \(i\)-esima riga della tabella

\[ \phi^2_{(i)} = \sum_{j=1}^{J}\frac{f_{ij}^2}{f_{i\cdot}f_{\cdot j}} = \sum_{j=1}^{J}\frac{f_{ij}}{f_{i\cdot}}\frac{f_{ij}}{f_{\cdot j}} \]

osservando che \(\sum_{j=1}^{J}f_{ij}/ f_{i \cdot} = 1\) si deduce che \(\phi^2_{(i)}\) è una media ponderata delle quantità \(f_{ij}/ f_{\cdot j}\). Essendo una media gode della proprietà della internalità e raggiunge il suo massimo \(1\) quando sulla riga esiste un solo valore \(f_{ij}\) diverso da zero sotto la condizione per cui \(f_{\cdot j} > 0\) \(\forall j \in\{1,\ldots J\}\) (non ci devono essere modalità con frequenza marginale uguale a \(0\)). Se \(\phi^2_{(i)}\) raggiunge il massimo per tutte le righe, l'indice \(\phi^2\) avrà raggiunto il suo massimo in \(I-1\).