Unit 1 - Associazione fra caratteri: definizioni e misure per i caratteri statistici

Dimostrazione

• Consideriamo il polinomio di secondo grado
  \[ p = (a_1 + b_1 x)^2 + (a_2 + b_2 x)^2 + \cdots + (a_n + b_n x)^2 \]che non ha radici reali tranne nel caso in cui \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\) e \(b_1 = b_2 = \cdots = b_n\) oppure i coefficienti sono proporzionali fra loro.

• Svolgiamo i quadrati:
  \[ a_1^2 + b_1^2x^2 + 2a_1 b_1x + a_2^2 + b_2^2 + 2a_2b_2x + \cdots + a_n^2 + b_n^2x + 2a_nb_nx \]e raggruppiamo\[ x^2\sum_{i=1}^{n}{b_i^2} + 2x\sum_{i = 1}^{n}{a_i b_i} +  \sum_{i=1}^{n}{a_i^2} \]ottenendo una equazione di II grado:\[ x^2\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}}_{\color{red}{a}} + \Big(\underbrace{2\sum_{i = 1}^{n}{a_i b_i}}_{\color{blue}{b}} \Big)x + \underbrace{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}}_{\color{lime}{c}} = 0 . \]

• Ricordiamo che il discriminante della eq. di II grado è uguale a \(\boxed{\color{blue}{b}^2 - 4\color{red}{a}\color{lime}{c}}\) e l'eq. ammette radici reali e distinte solo se il discriminante \(> 0\).
  Il discriminante dell'eq è:
  \[\underbrace{4\Big(\sum_{i=1}^{n}{a_i b_i} \Big)^2}_{\color{blue}{b}^2} - 4\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}}_{\color{lime}{c}}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}}_{\color{red}{a}}.\]

• Poiché abbiamo scelto i coefficienti \(a\) e \(b\) uguali o proporzionali fra loro, la diseguaglianza \(\sum_{i=1}^{n}{a_i b_i} < \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n} b_i^2}\) è soddisfatta solo se i coefficienti non sono uguali fra loro.