Unit 1 - Associazione fra caratteri: definizioni e misure per i caratteri statistici

Se i punteggi osservati sono determinazioni di variabili casuali \(X_1\) e \(X_2\), sotto determinate condizioni, è possibile porre a verifica:

\[\color{brown}{H_0: \rho = 0 \hspace{1cm} \text{contro} \hspace{1cm} H_1: \rho \neq 0.}\]

Il test è possibile solo sotto la condizione che \(X_1\) e \(X_2\) siano i.i.d. secondo una distribuzione Normale. 

• Per coerenza abbiamo indicato le variabili con \(X_1\) e \(X_2\), invece che con \(X\) e \(Y\) e senza perdere di generalità possiamo assumere che \(\mu_1 = \mu_2 = 0\). Vogliamo utilizzare la statistica campionaria \(r\) come stimatore naturale di \(\rho\).
  \[ r = \frac{\mathrm{CODEV}(X_1, X_2)}{\sqrt{\mathrm{DEV}(X_1)\mathrm{DEV}(X_2) }} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{X_{i1}X_{i2}}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}X_{i1}^2\sum_{i=1}^{n}X_{i1}^2}}.\]
• La distribuzione della statistica campionaria \(r\) non è nota.
• È tuttavia possibile dimostrare che sotto \(\boldsymbol{H_0: \rho = 0}\) la seguente trasformazione di \(r\) segue una distribuzione \(t\) di Student con \(n-2\) gl:
  \[ t_{n-2} = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}. \]