Unit 1 - Associazione fra caratteri: definizioni e misure per i caratteri statistici

Il rapporto di correlazione \(\eta^2\)
Il Teorema della scomposizione della devianza ci dice che la devianza totale della variabile \(Y\) può essere scomposta in due quantità, la cui somma restituisce nuovamente devianza totale:

\[ DEV(Y) = DEV_{W}(Y) + DEV_B(Y) \]

dove \(DEV_{W}(Y)\) sta ad indicare la somma delle devianze misurate indipendentemente in ciascuna classe, mentre \(DEV_{B}(Y)\) si riferisce alla devianza delle medie parziali (\(\bar{y}_1, \bar{y}_2, \bar{y}_3\)) rispetto alla media generale \(\bar{y}\).
Sfruttando la scomposizione della devianza definiamo l'indice \(\eta^2\) come il rapporto:

\[ 0 \leq \eta^2 = \frac{DEV_B{(Y)}}{DEV{(Y)}} \leq{1} \]

Si osservi che se la devianza nei gruppi è 0 (distribuzioni degenere) allora \(DEV_B(Y) = DEV(Y)\) e quindi \(\eta^2 = 1\). Viceversa, se \(DEV_B(Y)=0\) allora \(\eta^2=0\).