Unit : indici di variabilità

Momenti di una distribuzione
La quantità:

\[ \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^r \]

si definisce momento \(r\)-simo della distribuzione, pertanto la quantità \( \displaystyle \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \) è il momento primo e coincide con la media aritmetica, \( \displaystyle \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2 \) è il momento secondo e così via.

La varianza è la differenza fra il momento \(\text{II}\) e il quadrato del momento \(\text{I}\)
Dimostrazione:

\[ \begin{array}{lll} \sigma^2 & = & \displaystyle \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i^2 -2\bar{x}x_i + \bar{x}^2) = \\[3pt] \, & = & \displaystyle \dfrac{1}{N} \left( \sum_{i=1}^N x_i^2 - 2\bar{x} \sum_{i=1}^N x_i + N\bar{x}^2 \right) = \\[3pt] \, & = & \displaystyle \dfrac{1}{N} \left( \sum_{i=1}^N x_i^2 - 2N\bar{x}^2 + N\bar{x}^2 \right) = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2 - \bar{x}^2 \quad \blacksquare  \end{array}\]