Unit 4: indici di posizione (parte 3 di 3)
Aggregazione dei criteri
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- Tendenza centrale: indici analitici
- La centralità
- La centralità: le medie trimmed
- Notazione (digressione)
- La media aritmetica
- Proprietà della media aritmetica
- Media aritmetica per dati raggruppati in classi
11. Proprietà della media aritmetica (5)
La media aritmetica è invariante per trasformazioni lineari di \(X\).
Sia \(X:x_1, x_2, \cdots, x_N\) una generica serie di \(N\) elementi con media \[ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i} \] Sia \(Y = X + a\), dove \(a\) è una costante, si dimostra che \[\bar{y} = \bar{x} + a. \] Analogamente consideriamo la serie \(W = bX\), dove \(b\) è una costante, si dimostra che \[ \bar{w} = b\bar{x}. \] Infine, se \(Z = a + bX\), allora \(\bar{z} = a + b\bar{x}\): \[ \bar{z} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{(a+bx_i)} = \frac{Na}{N} + \frac{Nb{\sum_{i=1}^{N}x_i}}{N} = a + b\bar{x}_{\blacksquare} \]
Attenzione: Invariante vuol dire che le trasformazioni su \(X: x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots, x_N\) si riflettono allo stesso modo anche su \(\bar{x}\).
Sia \(X:x_1, x_2, \cdots, x_N\) una generica serie di \(N\) elementi con media \[ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i} \] Sia \(Y = X + a\), dove \(a\) è una costante, si dimostra che \[\bar{y} = \bar{x} + a. \] Analogamente consideriamo la serie \(W = bX\), dove \(b\) è una costante, si dimostra che \[ \bar{w} = b\bar{x}. \] Infine, se \(Z = a + bX\), allora \(\bar{z} = a + b\bar{x}\): \[ \bar{z} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{(a+bx_i)} = \frac{Na}{N} + \frac{Nb{\sum_{i=1}^{N}x_i}}{N} = a + b\bar{x}_{\blacksquare} \]
Attenzione: Invariante vuol dire che le trasformazioni su \(X: x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots, x_N\) si riflettono allo stesso modo anche su \(\bar{x}\).
